MATEMATIKA (HIMPUNAN)

HIMPUNAN

Himpunan merupakan kumpulan yang memiliki definsi yang jelas.

Notasi : Huruf Kapital
Ciri : { . . . . . . . . . . . . . . . . . }

Elemen : anggota pada setiap Himpunan

Anggota : ∈
Bukan Anggota : ∉
Banyaknya anggota Himpunan : n
Himpunan kosong : { }  atau  ∅
{ x | . . . . . . .. } : syarat yang harus dipenuhi oleh x 


Menyatakan Himpunan

1. Dengan kata-kata. (Contoh: A={himpunan bilangan cacah})
2. Dengan mendaftar anggotanya. (Contoh: A={1,2,3,4,5,6,7})
3. Dengan notasi pembentuk himpunan (Contoh: A={x| x ∈ bilangan asli})
4. Dengan diagram venn

Simbol-simbol bilangan

Z atau ℤ = bilangan bulat

N atau ℕ = bilangan asli

C  atau ℂ = bilangan cacah

Q atau ℚ = bilangan rasional

R atau ℝ = bilangan riil

  Contoh Soal :

 Tuliskan Anggotanya!

1. A = {x| x < 9, x ∈ ℤ}
2. B = {x| 2 ≤ x < 12, x ∈ bilangan genap}

 Penyelesaian

1. A = {8,7,6,5,4,3,2,1,0,-1,-2, . . . . ..}       Himpunan Tak Hingga
2. B = {2,4,6,8}       Himpunan Terhingga

Himpunan Bagian (Subset)

 A merupakan bagian dari B jika ∀ ∈ A ada di B 
Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( ∅ ⊆ A ).

(c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C

·      ∅ ⊆ A dan A ⊆ A, maka ∅ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan ∅ adalah improper subset dari A. 

·      A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B

(i)           A ⊂ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B.

       A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

 Contoh: {1} dan {2, 3} adalah  proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A ⊆ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah  himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

 

Contoh :
A = {2,4,6}

B = {2,4,6,8,10}
   A ⊆ B
Dalam hal ini B dikatakan superset dari A atau B ⊇ A

Latihan1!
Tuliskan Himpunan Bagian dari:
A = {1,2}

 Penyelesaian

1. {1} = A1 
2. {2} = A2
3. {1,2} = A3
4. {} = A4

 Latihan2!
Berapa banyak himpunan bagian & tuliskan.
B = {a,i,u}
{a}
{i}
{u}
{a,i}
{a,u}
{i,u}
{a,i,u}
{}

Banyak Himpunan Bagian = 2ⁿ

n = banyaknya anggota himpunan 

B = 3 elemen

B = 2³ = 8 


Hubungan Antar Himpunan 
  1. Saling Lepas
A // B   Jika tidak ada satu pun anggota A yang sama dengan anggota B
Contoh :
A = {1,2,4}
B = {3,8,7}
maka A // B

  2. Berpotongan / Tidak saling lepas
A  /`/  B   Jika ∃ ∈ A yang sama dengan ∈ B
Contoh :
A = {1,2,4}
B = {2,3,5}
maka A  /`/  B

  3. Ekuivalen / Nilai jumlah anggotanya sama
A ekuivalen dengan B   Jika n(A) = n(B)
Contoh :
A = {a,t,m}
B = {2,3,4}
maka A  ~  B

  4. Sama (=)
A = B   Jika ∀ ∈ A = ∈ B
Contoh :
A = {a,t,o,s}
B = {t,o,s,a}
maka A  =  B 


Operasi Pada Himpunan
1. Irisan ( ∩ )
  Contoh:
A = {1,2,4}
B = {2,4,6,8}
A ∩ B = {2,4}
A ∩ B =  {x| x ∈ A dan x ∈ B}

2. Gabungan ( ∪ )
  Contoh:
A = {1,2,4}
B = {2,4,6,8}
A ∪ B = {1,2,4,6,8}
A ∩ B =  {x| x ∈ A atau x ∈ B}

3. Selisih ( - )
  Contoh:
A = {1,2,4}
B = {2,4,6,8}
A - B = {1}
A - B =  {x| x ∈ A tetapi x ∉ B}

4. Komplemen ( Pangkat ^c )
  Contoh:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
A = {1,3,5,7}
A^c = {2,4,6}
A^c =  {x| x ∈ S tetapi x ∉ A}
   S = Himpunan Semesta 

5. Beda Setangkup
  Contoh:
A = {2,4,6}
B = {2,3,5}
A ⊕ B = {3,4,5,6}
A ⊕ B =  {x| x ∈ A tetapi x ∉ B dan x ∈ B tetapi x ∉ A} 

6. Kartesian
  Contoh:
A = {1,2,3}
B = {8,9}
A × B = {(1,8),(1,9),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9)}
A × B =  {(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}


Hukum-hukum Himpunan

Langkah-langkah Membuat Diagram Venn 

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 
2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama
3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah
4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi  anggota bersama tadi
5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan
6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu
7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap